这是给自己看的描述统计学笔记，第六课正态分布，Normal Distribution.
虽然题目起得那么大不过这次的课程讲述的只是如何计算任意位置的正态分布曲线面积而已。
这一课回答的问题是，“怎样计算正态分布当中一个数值的百分比排序？”
Probability Density Function (PDF)
上一课讲述过，数据的分布 Histogram 可以使用一条理论上的曲线模型来模拟然后转而通过分析这条曲线来分析本来的数据。
这条曲线的名字就是 PDF, Probability Density Function.
为何与概率相关的话，可以想象一下，分布曲线上比较高的地方表示这个数值在这堆数据当中出现次数比较多，如果在一堆数据当中随机抽取的话它被抽到的概率也比较大。或者说，在数据当中出现得越多其被抽到概率就越高。
要知道一个数据在一个分布当中排序多少，只需要知道这个数据在 x 轴的位置，与这条曲线所围成的面积就是了。
Normal Distribution 的面积
Normal Distribution 即是那种两头小中间大显得对称并且 Mean, Median 与 Mode 一致的分布。
之前也不止一次提起过：
（这个维基百科的图真是百用不厌）
深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围，在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%；两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%；三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为99.7%。
在 Normal Distribution 当中，知道一个数值的 z 值（其与 Mean 相差多少个 Standard Deviation），即可以知道比它大或者比它小的数据占据了整堆数据的百分比，或者说是这个数值的排名。
其实以上这些都是之前的内容，这一节课就单纯讲述如何计算任意 z 值的排名，或是说其与曲线围成的面积是多少。
要清楚的两个概念是：
- 曲线下方的面积一定为 1，因为曲线代表的就是全部
- 曲线虽然两端与 x 轴很相近，然而与 x 轴永不相交；因为这是一个抽象的模型，我们永远也不肯定是否会出现与 Mean 相差那么远的数据，尽管概率很低很低
其实 Normal Distribution 也有公式可循，然而目前先不去探讨具体算法，用一个名为 Z-Table 的工具协助计算。
这个表格列出的是 z 值左端的曲线面积是多少，即比这个 z 值要小的数据占的百分比是多少。
要得知一个数据在一堆数据当中的排序或者说所占的百分比，可以通过查找上述的表格来决定。
例如说一次考试当中，Mean 为 75 分，Standard Deviation 为 10 分，如果这次考试的分数结果是符合 Normal Distribution 的话，那么在 60 分以下的人占了多少百分比？
根据 Z-Table 来计算则是：
- 60 分与 Mean 75 分相差 -15 分
- -15 分即是 -1.5 个 Standard Deviation, z 为 -1.5
- 通过 Z-Table 就能看到 z 为 -1.5 时左端的面积为 0.0668, 即有 6.68% 的人低于 60 分。
Z-Table 得出来的结果是那个 z 值左端的面积，因此如果要算比一个 z 值要大的面积的话，用 1 减去找到的结果就是了。
例如说上述例子当中，95 分以上的人占了多少百分比？同样：
- 95 分与 Mean 75 分相差 20 分
- 20 分即是 20 个 Standard Deviation, z 为 2
- 通过 Z-Table 就能看到 z 为 2 时左端的面积为 0.9772, 即有 97.72% 的人低于 95 分，换句话说就有 2.28% 的人高于 95 分。
当然也能计算两个分数之间的人数占了总体的百分比，用两个面积相减就可以了。例如高于 60 分又低于 95 分的人占的就是 0.9772 – 0.0668 = 0.9104.
在 Excel 当中，计算某个 z 值的左端所占曲线面积的公式是 NORM.S.DIST. 例如说要计算 z 为 1.5 的时候左端所占面积：
=NORM.S.DIST(1.5,1)
其实这节课讲述的计算过程并不复杂，比较难理解的是为什么要这么计算。毕竟一到正态分布，事情就不那么直观了。
